1 2002_Afrique_01.prwexo Afrique 2002

On considère la figure ci-contre.

  1. Les droites (IG) et (JH) se coupent en un point A.
    Le point E est sur (JH) et le point F est sur (IG).
    Les droites (EF) et (GH) sont parallèles.
    On a : AE = 3 cm ; AF = 4 cm ; AH = 7 cm ; EF = 6 cm.
    Calculer les longueurs AG et GH en justifiant la démarche utilisée.
    Donner les résultats sous la forme d’un nombre entier ou d’une fraction irréductible.
  2. On a : AI = 6 cm et AJ = 4,5 cm.
    Les droites (IJ) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier la démarche utilisée.
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2 2002_Afrique_02.prwexo Afrique 2002

Un triangle ABD rectangle en B est tel que AB = 9 cm et BAD = 40˚ .
On appelle (C1) le cercle circonscrit au triangle ABD et I son centre.
La bissectrice de l’angle BAD coupe le cercle (C1) en S.

  1. Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera une valeur arrondie au millimètre.
  2. Préciser la position du centre I du cercle (C1).
  3. Déterminer la mesure exacte de l’angle BIS en justifiant la démarche utilisée.
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3 2002_Aix_Marseille_01.prwexo Aix Marseille 2002

On considère la figure ci-contre.
Cette figure n’est pas en vraie grandeur et n’est pas à reproduire.
Elle est fournie pour préciser la position des points. L’unité est le centimètre.

  1. Le triangle ABC est rectangle en A et AB = 5, BC = 13.
    Démontrer que AC = 12.
  2. Les points A, C, M sont alignés. Les points B, C, N sont alignés.
    CM = 2,4 et CN = 2,6.
    Démontrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
    Calculer la longueur MN.
  3. Préciser la nature du triangle CMN ; justifier la réponse sans effectuer de calcul.
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4 2002_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyanes 2002

Le quadrilatère EORU est un losange de centre I.
L’angle IEU vaut 25˚et la diagonale [ER] mesure 10 cm.

  1. Prouver que le triangle EIU est rectangle en I.
  2. Calculer la valeur arrondie au centième de cm de la longueur IU.
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5 2002_Asie_01.prwexo Asie 2002

Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois (dessin ci-contre).
On donne : BS = 6 m ; BN = 1,8 m ; AM = 1,95 m ; AB = 2,5 m.

  1. En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS.
  2. Calculer les longueurs SM et SN.
  3. Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.
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6 2002_Asie_02.prwexo Asie 2002

On considère le cercle (C1) de centre O.
La demi-droite [AT) est tangente à (C1) en T.
On donne AT = 9 cm et OAT = 29˚ .

  1. Calculer une valeur approchée au millimètre près du rayon du cercle (C1).
  2. À quelle distance de A faut-il placer un point B sur [AT] pour que l’angle OBT mesure 30˚ (donner une valeur approchée arrondie au millimètre) ?
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7 2002_Centres_étrangers_01.prwexo Centres étrangers 2002

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 cm et AC = 9 cm.
I est un point du segment [AC] tel que CI = 5 cm.

  1. Calculer la valeur exacte de la longueur BC, puis sa valeur arrondie au millimètre près.
  2. La droite qui passe par I et qui est parallèle à la droite (AB) coupe la droite (BC) en E.
    En précisant la méthode utilisée, calculer la valeur exacte de la longueur EI.
  3. Calculer la valeur exacte de la tangente de l’angle ACB, puis en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle ACB.
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8 2002_Groupe_Nord_01.prwexo Groupe Nord 2002

On donne : CE = 5 cm, CD = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 7,5 cm et AB = 19,5 cm.

  1. Montrer que les droites (ED) et (AB) sont parallèles.
  2. Montrer que DE = 13 cm.
  3. Montrer que le triangle CDE est rectangle.
  4. Calculer tan CED puis en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle CED.
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9 2002_Groupe_Nord_02.prwexo Groupe Nord 2002

O est le centre du cercle (C1) passant par les points A, B, C.
Déterminer la mesure des angles du triangle ABC sachant que AOB = 50˚et BOC = 150˚ , en justifiant chacune de vos réponses.
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10 2002_Groupe_Sud_Ouest_01.prwexo Groupe Sud Ouest 2002

Le dessin ci-contre représente la coupe d’une maison.
Le triangle AIM est isocèle de sommet principal M.
La droite perpendiculaire à la droite (AI), passant par M, coupe (AI) en S.
On sait que : MS = 2,5 m et AI = 11 m.

    1. Calculer AS (justifier)
    2. Calculer la valeur arrondie à 0,1 degrés près de la mesure de l’angle AM S.
  1. Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait un tache en O, sur le plafond.
    La droite (NO) est perpendiculaire à la droite (AI).
    On donne AO = 4,5 m et pour effectuer les calculs, on prendra : N AO = 24˚ .
    Calculer AN. On donnera la valeur arrondie à 0,1 près.
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11 2002_Groupe_Sud_Ouest_02.prwexo Groupe Sud Ouest 2002

Les droites (SF) et (TE) sont parallèles.
Les points R, S et T sont alignés dans cet ordre.
Les points R, F, E et G sont alignés dans cet ordre.
On a : RS = 2 cm, ST = 4 cm, RF = 1,5 cm et EG = 9 cm.

  1. Démontrer que ER = 4,5 cm.
  2. Les droites (ES) et (TG) sont-elles parallèles ? Justifier.
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12 2002_Polynésie_01.prwexo Polynésie française 2002

Soit un cercle (C1) de centre O et de diamètre [AB].
On donne AB = 5 cm.
E est un point de ce cercle tel que AE = 3 cm.

  1. Quelle est la nature du triangle ABE ? Justifier.
  2. Calculer la longueur BE.
    1. Calculer le cosinus de l’angle BAE.
    2. En déduire la mesure de l’angle BAE arrondie au degré.
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13 2002_Polynésie_02.prwexo Polynésie française 2002

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
On donne : OA = 8 cm, OB = 10 cm, OC = 6,4 cm, OE = 2 cm et OF = 2,5 cm.

  1. Calculer la longueur OD.
  2. Démontrer que les droites (AB) et (EF) sont parallèles.
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14 2002_Pondichéry_01.prwexo Pondichéry 2002

On considère le cercle (C1) de centre O, de diamètre [AB] tel que AB = 6 cm. Le point M appartient à (C1) et BM = 3,6 cm.

  1. Justifier la nature du triangle AMB puis calculer AM.
  2. Calculer cos M  BA puis en déduire la mesure de M BA arrondie au degré.
  3. P est le point de [AB] tel que PA = 4,5 cm.
    La parallèle (MB) passant par P coupe [AM] en R.
    Calculer AR et RP.
  4. K est le point de [BM] tel que BK = 0,9 cm.
    Montrer que les droites (PK) et (AM) sont parallèles.
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15 2003_Afrique_01.prwexo Afrique 2003

On considère ABC un triangle rectangle en A tel que : AB = 6 cm et BC = 10 cm.
Le point I est le milieu du segment [BC] et (AI) est la médiane issue de A dans le triangle ABC.
Le point M est un point du segment [AI] tel que IM = 2 cm.
La parallèle à (AB) passant par M coupe [BC] en P.
Le point N est un point du segment [CI] tel que IN = 2 cm.

  1. Calculer AC.
  2. Montrer que IA = 5 cm.
  3. Calculer IP.
  4. Démontrer que (MN) et (AC) sont parallèles.
pict

16 2003_Amérique_du_Nord_01.prwexo Amérique du Nord 2003

On considère la figure ci-contre.
On donne : AI = 8 cm, BC = 12 cm, AIB = 90˚et I milieu de [BC].

    1. Calculer AB.
    2. Calculer cos ABI.
  1. O est le point de [BC] tel que BO = 5 cm.
    (C1) est le cercle de centre O passant par B.
    Il recoupe [BC] en E et [AI] en F.
    Quelle est la nature du triangle BEF ? Justifier.
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17 2003_Amérique_du_Nord_02.prwexo Amérique du Nord 2003

ABC est un triangle tel que AC = 7,5 cm, BC = 10 cm et AB = 6 cm.
Le point E appartient au segment [AC] et AE = 4,5 cm. Le point F appartient au segment [BC] et BF = 6 cm.

  1. Les droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier.
  2. La parallèle à (AB) passant par C coupe (BE) en L.
    Déterminer CL.
pict

18 2003_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyane 2003

Soit un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm, AC = 4,5 cm, BC = 6 cm.

  1. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
  2. E est un point du segment [AB] tel que BE = 5 cm.
    Le cercle (C1) de diamètre [BE] coupe le côté [BC] en F.
    Montrer que le triangle BFE est rectangle.
    1. Montrer que les droites (FE) et (AC) sont parallèles.
    2. Calculer BF et EF.
    1. Calculer cos ABC.
    2. Donner une valeur approchée au degré près de ABC.
pict

19 2003_Asie_01.prwexo Asie 2003

On considère un triangle ABC rectangle en B et tel que AB = 5 cm et BAC = 60˚ .
La médiatrice de [AC] coupe [AC] en I et [BC] en J.

  1. Calculer AC.
  2. Calculer l’angle B^J I.
pict

20 2003_Groupe_Est_01.prwexo Groupe Est 2003

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.
On donne : DE = 6 cm, AE = 10 cm, AB = 20 cm et BE = 16 cm.

  1. Calculer la distance CD.
  2. Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AB].
    Ils vérifient : BF = 12,8 cm et BG = 16 cm.
    Montrer que les droites (AE) et (FG) sont parallèles.
pict

21 2003_Groupe_Sud_01.prwexo Groupe Sud 2003

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne : AB = 2,4 cm, AC = 5,2 cm, AN = 7,8 cm et MN = 4,5 cm.

  1. Calculer les longueurs AM et BC.
  2. Sachant que AP = 2,6 cm et AR = 1,2 cm, montrer que les droites (PR) et (BC) sont parallèles.
pict

22 2003_La_Réunion_01.prwexo La Réunion 2003

On considère un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 7,5 cm et BC = 7 cm.
On place les points E et F respectivement sur les segments [AB] et [AC] de telle sorte que AE = 2 cm et AF = 3 cm.

  1. Démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
  2. Calculer EF.
pict

23 2003_Polynésie_01.prwexo Polynésie française 2003

ABC est un triangle tel que AB = 7,5 cm, BC = 10 cm et AC = 12,5 cm.

  1. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
  2. M est un point du segment [BC] tel que BM = 4 cm.
    La parallèle à la droite (AC) passant par le point M coupe la droite (AB) en N.
    Calculer BN et MN.
pict

24 2004_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyane 2004

ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, AC = 5 cm et BC = 13 cm.
M est le point de [AC] tel que AM = 3 cm et N le point de [AB] tel que AN = 7,2 cm.

  1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
  2. Calculer la tangente de l’angle ACB et déterminer la valeur de cet angle au degré près.
    1. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
    2. Calculer la distance MN.
pict

25 2004_Groupe_Est_01.prwexo Groupe Est 2004

Les segment [OA] et [IU] se coupent en M.
On a : MO = 2,1 cm, MA = 2,7 cm, MU = 2,8 cm, MI = 3,6 cm et AI = 4,5 cm.

  1. Prouver que les droites (OU) et (AI) sont parallèles.
  2. Calculer la longueur OU.
  3. Prouver que le triangle IAM est un triangle rectangle.
  4. Déterminer, à un degré près, la mesure de l’angle AIM.
  5. Montrer que les angles IAM et M OU ont la même mesure.
pict

26 2004_Groupe_Nord_01.prwexo Groupe Nord 2004

[EF] est un segment de longueur 7 cm et de milieu le point O.
Le cercle (C1) a pour diamètre [EF] et G est un point de ce cercle tel que F EG = 26˚ .

  1. Démontrer que le triangle EFG est un triangle rectangle en G.
  2. Calculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au millimètre.
  3. Déterminer la mesure de l’angle F OG (justifier la réponse).
pict

27 2004_Groupe_Ouest_01.prwexo Groupe Ouest 2004

EFG est un triangle tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.
Le point B appartient au segment [EF] et EB = 7 cm.
La parallèle au côté [FG] passant par B coupe le côté [EG] en M.

  1. Prouver que le triangle EFG est rectangle en E.
  2. Calculer la mesure de l’angle EF  G. Le résultat sera arrondi au degré près.
  3. Calculer la valeur exacte de BM, puis en donner l’arrondi au mm près.
pict

28 2004_Groupe_Sud_01.prwexo Groupe Sud 2004

Dans le triangle CDE :

  • A est un point du segment [CE] ;
  • B est un point du segment [CD].

On a : AC = 8 cm, CE = 20 cm, BC = 6 cm, CD = 15 cm et DE = 25 cm.

  1. Montrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
  2. Le triangle CDE est-il rectangle ? Justifier.
  3. Calculer AB.
  4. Calculer la valeur arrondie au degré de l’angle CDE.
pict

29 2004_Polynésie_01.prwexo Polynésie française 2004

Dans le triangle ABC, [AH] est la hauteur issue du sommet A.
On a : AH = 5 cm, AB = 8 cm et CAH = 40˚ .

  1. Calculer la mesure de l’angle BAH. On donnera une valeur arrondie au degré près.
  2. Calculer la longueur CH. On donnera une valeur arrondie au millimètre.
pict

30 2004_Polynésie_02.prwexo Polynésie française 2004

Deux droites (PB) et (RC) sont sécantes en un point A.
On a : AR = 6 cm, AC = 28 cm, AB = 35 cm, AP = 7,5 cm et BC = 21 cm.

  1. Démontrer que les droites (BC) et (PR) sont parallèles.
  2. Calculer la longueur RP.
pict

31 2004_Pondichéry_01.prwexo Pondichéry 2004

OAB est un triangle rectangle en A.
D appartient à la droite (OB) et C appartient à la droite (OA).
On donne : OC = 28 cm, CD = 21 cm, OD = 35 cm et OA = 42 cm.

  1. Démontrer que le triangle OCD est rectangle en C.
  2. Démontrer que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
  3. Calculer les longueurs OB et AB.
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32 2005_Amérique_du_Sud_01.prwexo Amérique du Sud 2005

Sur la figure ci-contre, les segments [KL] et [JM] se coupent au point I.
On a : IK = 4 cm, JK = 2,4 cm et LM = 4,2 cm.
Le triangle IJK est rectangle en K.
Le triangle LIM est rectangle en M.

  1. Calculer la valeur exacte de la tangente de l’angle J IK.
  2. Pourquoi les angles JIK et LIM sont-ils égaux ?
  3. Donner l’expression de la tangente de l’angle LIM en fonction de IM.
  4. En s’aidant des réponses aux questions précédentes, prouver que la longueur IM en centimètres est un nombre entier.
  5. Déterminer l’arrondi au degré de l’angle JIK.
pict

33 2005_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyane 2005

Le cercle (C1) est un cercle de centre O et de diamètre AB = 11 cm.
Le point C appartient au cercle (C1) et BC = 6,6 cm.

  1. Montrer que ABC est un triangle rectangle en C.
  2. Calculer la distance AC.
  3. Déterminer la mesure arrondie au degré près de l’angle BAC.
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34 2005_Centres_étrangers_01.prwexo Centres étrangers 2005

Sur la figure ci-contre :

  • (C1) est un cercle de centre O et de diamètre BF = 40 mm.
  • A est un point du cercle (C1) tel que AB = 14 mm.
  • La perpendiculaire à la droite (AF) passant par O coupe le segment [AF] en E.
  1. Quelle est la nature du triangle ABF ? Justifier votre réponse.
  2. Calculer la valeur arrondie au dixième de degré près de l’angle AF  B.
  3. Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur EF.
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35 2005_Groupe_Est_01.prwexo Groupe Est 2005

On donne : AM = 5 cm, AB = 15 cm, AN = 4 cm, AC = 12 cm et AH = 7,5 cm.
Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires en D.

  1. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
  2. Calculer AD. Justifier.
  3. Pourquoi peut-on dire que les angles ABC et AM  N sont égaux ?
  4. Montrer que le triangle ABH est rectangle en H.
  5. Montrer que l’aire du triangle ABC est égale à 9 fois l’aire du triangle AMN.
pict

36 2005_Groupe_Est_02.prwexo Groupe Est 2005

(C1) est un cercle de diamètre [EF] et EF = 10 cm.
Le point G appartient à (C1) et EG = 9 cm.

  1. Démontrer que EFG est rectangle.
  2. Calculer la longueur FG arrondie au mm.
  3. Le point M appartient au segment [EG] et EM = 5,4 cm.
  4. Le point P appartient au segment [EF] et EP = 6 cm.
    Démontrer que les droites (FG) et (MP) sont parallèles.
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37 2005_Groupe_Nord_01.prwexo Groupe Nord 2005

ABC est un triangle tel que BC = 7 cm, ACB = 37˚ et ABC = 53˚ .

  1. Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.
  2. Calculer la longueur AC arrondie au mm.
pict

38 2005_Groupe_Ouest_01.prwexo Groupe Ouest 2005

On considère la figure ci-contre.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les points O, B et D sont alignés, ainsi que les points O, A et C.
On donne : OA = 8 cm, OB = 6 cm et OC = 10 cm.

  1. Calculer la longueur BD.
  2. On suppose que l’angle ABO est droit.
    1. Calculer sin (AOB), puis en déduire une valeur approchée arrondie au degré près de la mesure de l’angle AOB.
    2. Justifier que le triangle CDO est rectangle.
    3. En utilisant le théorème de Pythagore, donner une valeur approchée, en cm, arrondie au dixième de la longueur CD.
pict

39 2005_Groupe_Sud_01.prwexo Groupe Sud 2005

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les points A, C, O et E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F.
On a : CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, BO = 4,9 cm, CD = 1,8 cm, FO = 2,8 cm et EO = 2 cm.

  1. Calculer en justifiant DO et AB.
  2. Prouver que les droites (AB) et (EF) sont parallèles.
pict

40 2005_Groupe_Sud_02.prwexo Groupe Sud 2005

ABC est un triangle tel que : AB = 4,2 cm, BC = 5,6 cm et AC = 7 cm.

  1. Prouver que ABC est rectangle en B.
  2. Calculer le périmètre et l’aire de ABC.
pict

41 2005_Moyen_Orient_01.prwexo Moyen Orient 2005

ACH est un triangle rectangle en H. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) en B.
On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4 cm.

    1. Justifier l’égalité : ACH = 90˚ -HAC.
    2. Justifier l’égalité : BAH = 90˚ -HAC.
    3. Que peut-on en déduire pour les angles ACH et BAH ?
    1. Montrer que tan ACH = 3-
4.
    2. En utilisant le triangle BAH, exprimer tan BAH en fonction de BH.
  1. Déduire des questions 1) et 2) que BH = 3,6 cm.
  2. Calculer la mesure en degré arrondie au degré de l’angle ACH.
pict

42 2005_Moyen_Orient_02.prwexo Moyen Orient 2005

ABC est un triangle tel que : AB = 8 cm, AC = 6,4 cm et BC = 4,9 cm.
Le point E appartient à la demi-droite [AB) et AE = 12 cm.
Le point F appartient à la demi-droite [AC) et AF = 9,6 cm.

  1. Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ? Justifier la réponse.
  2. Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
pict

43 2005_Polynésie_01.prwexo Polynésie française 2005

Le triangle OAI est tel que OA = 5 cm, OI = 7,5 cm et AI = 6 cm.
Sur la demi-droite [OA), B est tel que OB = 7 cm.
Sur la demi-droite [OI], J est tel que OJ = 10,5 cm.

  1. Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont parallèles.
  2. Calculer la longueur BJ.
pict

44 2005_Pondichéry_01.prwexo Pondichéry 2005

MNP est un triangle rectangle en P tel que : MP = 5 cm et MN = 7 cm.

  1. Calculer la mesure, arrondie au degré, de l’angle M N P.
  2. Calculer la valeur, arrondie au mm, de NP.
  3. Soit I le point du segment [MP] tel que PI = 2 cm.
    La parallèle à (MN) passant par I coupe [PN] en J.
    Calculer IJ.
pict

45 2005_Pondichéry_02.prwexo Pondichéry 2005

[EF] est un segment qui mesure 8 cm et on appelle (C1) le cercle de diamètre [EF].
G est un point de ce cercle tel que EG = 6 cm.
Les points K et L sont les symétriques respectifs des points E et F par rapport au point G.

  1. Quelle est la nature du triangle EFG ? Justifier la réponse.
  2. Quelle est la nature du quadrilatère EFKL ? Justifier la réponse.
pict

46 2006_Afrique_01.prwexo Afrique 2006

Le triangle ABC est rectangle en C et AC = 6,3 cm et AB = 6,5 cm.
Le point D est tel que AD = 5,6 cm et BD = 3,3 cm.

  1. Calculer BC.
  2. Démontrer que ABD est rectangle en D.
  3. O est le milieu de [AB]. Montrer que CO = DO.
pict

47 2006_Afrique_02.prwexo Afrique 2006

Les points O, A et Asont alignés.
Les points O, B et Bsont alignés.
Les points O, C et Csont alignés.

Les droites (AB) et (AB) sont parallèles.
Les droites (BC) et (BC) sont parallèles.

OB = 4 cm, OB= 5 cm, OA = 3 cm, OC= 6 cm.

  1. Calculer OC.
  2. Calculer OA.
  3. Démontrer que les droites (AC) et (AC) sont parallèles.
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48 2006_Amérique_du_Nord_01.prwexo Amérique du Nord 2006

On sait que :

  • EO = 5 cm, OC = 3 cm et OA = 6 cm ;
  • Les points E, O et C sont alignés ;
  • Les triangles ENO et ACO sont respectivement rectangles en E et C ;
  • La droite (AO) coupe la droite (NE) en S.
  1. Montrer que, en cm, la mesure de [AC] est 3√ --
  3.
    1. Montrer que les droites (ES) et (AC) sont parallèles.
    2. Calculer les valeurs exactes de OS et de ES.
  2. Calculer NO sachant que EON = 30˚ . Arrondir au millimètre.
    1. Calculer l’angle AOC.
    2. Démontrer que le triangle NOS est rectangle.
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49 2006_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyane 2006

On considère la figure ci-contre où :

  • OM = 3,9 cm, AM = 2,1 cm ;
  • OP = 5,2 cm, BP = 2,8 cm et MP = 6,5 cm.
  1. Montrer que les droites (MP) et (AB) sont parallèles.
  2. Calculer la longueur AB.
  3. Montrer que le triangle OAB est rectangle en O.
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50 2006_Antilles_Guyane_02.prwexo Antilles-Guyane 2006

On considère un cercle (C1) de diamètre AH = 9 cm.
Soit M un point du cercle (C1) tel que AM = 5,3 cm et T un autre point du cercle (C1).

  1. Justifier que AHM est un triangle rectangle.
  2. Calculer la mesure de l’angle AHM arrondie à l’unité.
  3. Déterminer la mesure de l’angle HT  M arrondie à l’unité.
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51 2006_Asie_01.prwexo Asie 2006

Soit un triangle ADE tel que : AD = 6,6 cm, DE = 8,8 cm et AE = 11 cm. B est le point du segment [AD] tel que AB = 3 cm, et C est le point du segment [AE] tel que (BC) soit parallèle à (DE).

  1. Calculer la longueur BC.
  2. Montrer que le triangle ADE est rectangle.
  3. Calculer la valeur, arrondie au degré, de l’angle AED.
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52 2006_Centres_étrangers_01.prwexo Centres étrangers 2006

Antoine et David ont tendu une corde entre deux points A et D.
Charlène et Betty en ont fait de même entre les points B et C.
Les deux cordes se coupent en E. On sait que : AE = 7 cm, BE = 13 cm, CE = 10 cm et DE = 9,1 cm.

Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?

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53 2006_Groupe_Est_01.prwexo Groupe Est 2006

Les points S, P, E et B sont alignés, ainsi que les points N, P, C et M.
Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.
On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm, PB = 13,6 cm et PN = 9 cm.

  1. Démontrer que le triangle PBM est rectangle.
  2. En déduire la mesure de l’angle M BP arrondie au degré près.
  3. Calculer la longueur NS.
  4. On considère le point E du segment [PB] tel que PE = 3,4 cm et le point C du segment [PM] tel que PC = 3 cm.
    Les droites (CE) et (BM) sont-elles parallèles ?
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54 2006_Groupe_Nord_01.prwexo Groupe Nord 2006

Soit un cercle (C1) de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm.
Soit U un point de ce cercle tel que SU = 3 cm.

  1. Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.
  2. Donner la valeur arrondie au dixième de l’angle STU.
  3. En déduire une valeur approchée au dixième de SOU.
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55 2006_Groupe_Ouest_01.prwexo Groupe Ouest 2006

Les points A, C, et E sont alignés ainsi que les points B, C et D.
Le triangle ABC est rectangle en B.
On a : BC = 12 cm, CD = 9,6 cm, DE = 4 cm et CE = 10,4 cm.

  1. Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.
  2. En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
  3. Calculer la longueur AB.
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56 2006_Groupe_Sud_01.prwexo Groupe Sud 2006

Les points A, C et F sont alignés ainsi que les points B, C et G.
Les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
AB = 3 cm, FC = 8,4 cm et FG = 11,2 cm.

  1. Calculer la longueur AC.
  2. Soit D le point du segment [CF] et E le point du segment [FG] tels que : DF = 6,3 cm et EF = 8,4 cm.
    Montrer que les droites (CG) et (DE) sont parallèles.
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57 2006_Groupe_Sud_02.prwexo Groupe Sud 2006

ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 5 cm et BAC = 40˚ .
(C1) est le cercle circonscrit au triangle ABC et O est le centre de (C1).

  1. Calculer la longueur BC (on donnera une valeur arrondie au millimètre).
  2. Où se trouve le point O ?
  3. En déduire la mesure de l’angle BOC.
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58 2006_Polynésie_01.prwexo Polynésie française 2006

BDN est un triangle tel que DN = 5 cm, BN = 12 cm et BD = 13 cm.

  1. Démontrer que le triangle DNB est un triangle rectangle en N.
    1. Calculer le sinus de l’angle DBN. Arrondir le résultat au millième.
    2. En déduire la mesure de l’angle DBN arrondie au degré près.
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59 2006_Pondichéry_01.prwexo Pondichéry 2006

ABC est un triangle rectangle en A tel que : AC = 3 cm et BC = 6 cm.

  1. Calculer la valeur exacte de AB.
  2. Calculer sin (ACB) ; en déduire la mesure en degrés de l’angle ACB.
  3. La médiatrice du segment [BC] coupe la droite (AC) en E et la droite (AB) en O.
    1. Démontrer que le triangle BEC est isocèle, puis, qu’il est équilatéral.
    2. Démontrer que la droite (AB) est la médiatrice du segment [CE].
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60 2007_Amérique_du_Nord_01.prwexo Amérique du Nord 2007

(C1) est un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 6 cm.
M est un point du cercle (C1) tel que BM = 4,8 cm.

  1. Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M.
  2. Calculer la mesure de l’angle ABM arrondie au degré.
  3. En déduire la mesure de l’angle AOM arrondie au degré.
pict

61 2007_Amérique_du_Sud_01.prwexo Amérique du Sud 2007

On sait que les points Y , S, B et E sont alignés dans cet ordre et que les points X, S, A et D sont alignés dans cet ordre. On sait également que :

  • (XY ) est parallèle à (AB) ;
  • SA = 3 cm, SB = 5 cm, SX = 5 cm et AB = 4 cm.
  1. Calculer XY en justifiant. Donner la valeur exacte puis l’arrondir au millimètre.
  2. On sait de plus que : SD = 4,5 cm et SE = 7,5 cm.
    Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
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62 2007_Amérique_du_Sud_02.prwexo Amérique du Sud 2007

On considère le triangle ABS tel que AB = 13 cm, AS = 5 cm et BS = 12 cm.

  1. Démontrer que le triangle ABS est rectangle en S.
  2. Déterminer la mesure de l’angle BAS (arrondie au degré).
  3. Le point R est tel que ARBS soit un parallélogramme.
    Démontrer que le quadrilatère ARBS est un rectangle.
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63 2007_France_01.prwexo France 2007

ABC est un triangle tel que AB = 9 cm, AC = 15 cm et BC = 12 cm.

  1. Démontrer que ABC est rectangle en B.
  2. E est le point de [AB] tel que AE = 3 cm.
    F est le point de [AC] tel que AF = 5 cm.
    1. Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC).
    2. Calculer l’aire du triangle AEF.
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64 2007_France_02.prwexo France 2007

ABC est un triangle équilatéral.
Le point O est le centre du cercle (C1) circonscrit au triangle ABC.
Le point D est le point diamétralement opposé au point B sur le cercle (C1).

  1. Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
  2. Quelle est la mesure de l’angle ADB ? Justifier.
  3. On désigne par E le point tel que CEDO soit un parallélogramme.
    Démontrer que les droites (CD) et (EO) sont perpendiculaires.
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65 2007_Polynésie_01.prwexo Polynésie française 2007

On considère le triangle ABC tel que AB = 7,8 cm, AC = 7,2 cm et BC = 3 cm.

  1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
    1. Calculer la tangente de l’angle BAC. On donnera le résultat au millième près.
    2. En déduire une valeur approchée de l’angle CAB au degré près.
  2. On place sur le segment [BC] un point N tel que CN = 2,25 cm et sur le segment [AC] un point M tel que CM = 5,4 cm.
    Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
  3. Calculer MN.
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66 2007_Polynésie_02.prwexo Polynésie française 2007

OBC est un triangle rectangle en O tel que OB = 3 cm et OC = 6 cm.

  1. Calculer la valeur exacte de la longueur BC. En donner la valeur arrondie au millimètre.
  2. Le point D est le symétrique du point B par rapport au point O.
    Le point A est tel que ABCD est un parallélogramme.
    1. Démontrer que O est le milieu de [AC].
    2. Démontrer que ABCD est un losange.
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67 2007_Polynésie_03.prwexo Polynésie française 2007

EFG est un triangle isocèle en F tel que EF = 6 cm et EF  G = 34˚ .
Le point H est le symétrique du point G par rapport au point F.
Le point K est tel que EFGK est un parallélogramme.

  1. Quelle est la nature du quadrilatère EFGK ?
  2. Montrer que les points E, G et H sont situés sur un même cercle de centre F.
  3. Démontrer que le triangle EGH est rectangle en E.
    1. Montrer que la mesure de l’angle EGF est égale à 73˚ .
    2. Dans le triangle rectangle EGH, calculer EG ; donner l’arrondi au dixième.
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68 2007_Pondichéry_01.prwexo Pondichéry 2007

On considère un cercle (C1) de diamètre [AB] et C un point appartenant à ce cercle.

  1. Déterminer la nature du triangle ABC.
  2. On donne AC = 3,9 cm et BC = 5,2 cm.
    Montrer que AB = 6,5 cm.
  3. Le point D est tel que AD = 2,5 cm et BD = 6 cm.
    Le triangle ABD est-il rectangle ?
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69 2007_Pondichéry_02.prwexo Pondichéry 2007

AC = 3 cm, AE = 4,5 cm, AB = 4 cm.
Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

  1. Calculer les longueurs AD et BD.
  2. On donne : AF = 4,05 cm et AG = 5,4 cm.
    Montrer que les droites (BC) et (FG) sont parallèles.
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70 2008_Amérique_du_Nord_01.prwexo Amérique du Nord 2008

On considère un cercle (C1) de centre O et de diamètre 8 cm.
I et J sont deux points de (C1) diamétralement opposés.
K est un point de (C1) tel que JK = 4 cm.

  1. Préciser la nature du triangle IJK. Justifier.
  2. Préciser la nature du triangle OJK. Justifier.
  3. On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ).
    Démontrer que le quadrilatère JKOR est un losange.
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71 2008_Amérique_du_Nord_02.prwexo Amérique du Nord 2008

Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O.
On donne : OA = 3 cm, OB = 2,5 cm, OM = 5,4 cm et ON = 4,5 cm.

  1. Montrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
  2. On suppose que AB = 1,2 cm. Calculer la distance MN.
  3. Démontrer que Aire de M N O
-Aire de-AOB-- = 3,24.
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72 2008_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyane 2008

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne : AB = 4,5 cm, AC = 3 cm, AN = 4,8 cm et MN = 6,4 cm.

  1. Calculer AM et BC.
  2. On sait de plus que AE = 5 cm et AF = 7,5 cm.
    Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
pict

73 2008_Asie_01.prwexo Asie 2008

Sur la figure : OD = 4 cm, OC = 5 cm, AC = 3 cm, OE = 6 cm et OF = 7,5 cm.

  1. Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles.
  2. Calculer BO.
  3. Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles.
  4. Quelle est la nature du triangle OEF ? Justifier.
  5. Calculer au degré près la mesure de l’angle DCO.
  6. Quelle est la mesure au degré près de l’angle EF O ?
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74 2008_France_01.prwexo France 2008

Sur la figure :

  • Les points K, A, F et C sont alignés ;
  • Les points G, A, E et B sont alignés ;
  • (EF) et (BC) sont parallèles ;
  • AB = 5 cm et AC = 6.5 cm ;
  • AE = 3 cm et EF = 4,8 cm ;
  • AK = 2,6 cm et AG = 2 cm.
  1. Démontrer que BC = 8 cm.
  2. Les droites (BC) et (KG) sont-elles parallèles ? Justifier.
  3. Les droites (AB) et (AC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
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75 2008_Groupement_Nord_étranger_01.prwexo Groupement Nord étranger 2008

On donne : AB = 8 cm, BC = 9 cm, AC = 6 cm et AE = 4 cm.

  1. Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
    Calculer AD.
    On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième de centimètre.
  2. Soit F le point tel que C, B et F sont alignés dans cet ordre, avec BF = 6 cm.
    Démonter que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
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76 2008_Groupement_Nord_étranger_02.prwexo Groupement Nord étranger 2008

On considère un triangle SKI rectangle en S tel que SK = 9,6 cm et KI = 10,4 cm.

  1. Calculer SI.
  2. Calculer la mesure de l’angle IKS. On donnera l’arrondi au degré.
  3. En déduire au degré près la mesure de l’angle KIS.
  4. Où se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle SKI ?
  5. Calculer au degré près la mesure de l’angle I^OS.
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77 2008_Île_Maurice_01.prwexo Île Maurice 2008

ABC est un triangle rectangle en C tel que :

  • Le segment [AC] mesure 8 cm ;
  • Le segment [BC] mesure 6 cm ;
  • Le milieu du segment [AC] est noté I.
  1. Montrer que AB = 10 cm.
  2. Préciser la position du point O, centre du cercle (C1) circonscrit au triangle ABC. Justifier.
  3. Démontrer que la droite (IO) est la médiatrice du segment [AC].
  4. Que vaut la longueur du segment [IO] ?
  5. Quel est l’arrondi à l’unité de la mesure de l’angle BAC ?
  6. Que vaut l’aire du quadrilatère BCIO ?
  7. Démontrer que le triangle BCO est isocèle en O.
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78 2008_Nouvelle_Calédonie_01.prwexo Nouvelle Calédonie 2008

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Le point E appartient au segment [AB] et BE = 1,5 cm.
Le point F appartient au segment [BC] et BF = 2,5 cm.
Le point Best le symétrique du point B par rapport au point A.

  1. Montrer que BC = 10 cm.
  2. Montrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
  3. Montrer que EF = 2 cm.
  4. Montrer que le triangle BBC est isocèle en C.
pict

79 2008_Polynésie_01.prwexo Polynésie française 2008

On considère le cercle (C1) et de diamètre [BC] et le cercle (C2) de diamètre [BD].
A est un point de (C1) et la droite (AB) coupe le cercle (C2) au point E.
On donne : AB = 4 cm, BC = 5 cm et BD = 9 cm.

  1. Démontrer que les triangles ABC et BDE sont rectangles.
  2. Calculer AC.
  3. Montrer que les droites (AC) et (DE) sont parallèles.
  4. Montrer que BE = 7,2 cm.
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80 2008_Polynésie_02.prwexo Polynésie française 2008

Voici le pentagone régulier ABCDE. Le point I est le milieu de [AB].
OA = OB = OC = OD = OE = 5,7 cm.
On admettra que IAO = 54˚et que les points I, O et D sont alignés.

    1. Quelle est la nature du triangle AOB ?
    2. Montrer que la mesure de l’angle AOB est de 72˚ .
  1. Quelle est l’image du triangle BCO par la symétrie axiale d’axe (DI) ?
  2. Calculer la longueur AB (arrondie au millimètre).
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81 2008_Pondichéry_01.prwexo Pondichéry 2008

(C1) est un cercle de diamètre [OS] tel que OS = 7 cm.
R est un point du cercle tel que OR = 5,6 cm.
A est le point de la demi-droite [SO) tel que OA = 10 cm.
B est le point de la demi-droite [RO) tel que OB = 8 cm.

  1. Démontrer que les droites (AB) et (RS) sont parallèles.
  2. Déterminer la nature du triangle ORS, puis celle du triangle AOB.
  3. En déduire la mesure de l’angle AOB, arrondie au degré.
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82 2009_Amérique_du_Nord_01.prwexo Amérique du Nord 2009

On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles.
On donne : OB = 7,2 cm, OC = 10,8 cm, OD = 6 cm et CE = 5,1 cm.

  1. Calculer EO puis BD.
  2. On donne OG = 2,4 cm et OF = 2 cm.
    Démontrer que (BD) et (FG) sont parallèles.
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83 2009_Amérique_du_Nord_02.prwexo Amérique du Nord 2009

On donne : BD = 4 cm, AB = 6 cm et CBD = 60˚ .

  1. Montrer que BC = 8 cm.
  2. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième.
  3. Calculer AC.
  4. Quelle est la valeur de tan BAC ?
  5. En déduire la valeur arrondie au degré de BAC.
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84 2009_Amérique_du_Sud_01.prwexo Amérique du Sud 2009

Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage.
La ficelle est déroulée au maximum et elle est tendue. Elle mesure 50 m.
(la figure ci-contre n’est pas à l’échelle)

  1. La ficelle fait avec l’horizontale un angle CSH qui mesure 80˚ .
    Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c’est-à-dire CH (on donnera la réponse arrondie au mètre).
  2. Lorsque la ficelle fait avec l’horizontale un angle de 40˚ , la distance CH est-elle la moitié de celle calculée au 1) ?
    Justifier la réponse.
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85 2009_Amérique_du_Sud_02.prwexo Amérique du Sud 2009

Les points M, O et Q sont alignés ainsi que les points N, O et P.
Les segments [OM] et [OQ] sont des diamètres des deux cercles tracés.
On donne : OM = 7,5 cm et OQ = 4,5 cm.

  1. Prouver que le triangle MNO est rectangle en N.
  2. On admet pour la suite que le triangle OPQ est rectangle en P.
  3. Justifier que les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
  4. Dans le cas où ON = 5 cm, calculer la distance OP. Justifier.
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86 2009_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyane 2009

Soit la figure suivante où :

  • ABC est un triangle rectangle en B ;
  • AC = 13 cm et BC = 12 cm.
  1. Calculer la mesure de l’angle BAO (on arrondira au degré).
  2. O désigne le milieu de [AC].
    1. Déterminer la longueur OB.
    2. Déterminer la mesure de l’angle BOA.
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87 2009_Antilles_Guyane_02.prwexo Antilles-Guyane 2009

On donne :

AI = 8 cm IB = 10 cm
IC = 14 cm ID = 11,2 cm AB = 6 cm
  1. Montrer que le triangle IAB est rectangle en A.
  2. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
  3. Quelle est la nature du triangle IDC ? Justifier votre réponse.
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88 2009_Centres_étrangers_01.prwexo Centres étrangers 2009

Sur la figure, le quadrilatère BREV est un rectangle, avec BR = 13 cm et BV = 7,2 cm.
Le point T est sur le segment [EV ] tel que V T = 9,6 cm.
N est le point d’intersection des droites (BT) et (ER).

  1. Démontrer que la longueur ET est égale à 3,4 cm.
  2. Calculer la longueur BT.
  3. Calculer la longueur EN.
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89 2009_Centres_étrangers_02.prwexo Centres étrangers 2009

Dans la figure ci-dessous, on a :

  • B appartient à [DR] ;
  • C appartient à [RU] ;
  • ER = 3 cm, ED = 1,5 cm, CR = 2 cm et RU = 3 cm.
  1. Démontrer que les droites (CE) et (DU) sont parallèles.
  2. Calculer le rapport d’agrandissement permettant de passer du triangle CER au triangle DRU.
  3. Montrer que l’aire du triangle DRU est égale à 2,25 fois l’aire du triangle CER.
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90 2009_France_01.prwexo France 2009

ABC est un triangle isocèle tel que AB = AC = 4 cm.
E est le symétrique de B par rapport à A.
ABC = 43˚ .

  1. Quelle est la nature du triangle BCE ? Justifier.
  2. Prouver que l’angle EAC mesure 86˚ .
pict

91 2009_Île_Maurice_01.prwexo Île Maurice 2009

Soient un cercle (C1) de centre O et de rayon 5 cm, [AB] un diamètre de ce cercle et M un point de (C1) tel que BM = 4,2 cm.

  1. Montrer que ABM est un triangle rectangle.
  2. Quelles sont les mesures, arrondies au degré, des angles ABM et AOM ?
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92 2009_La_Réunion_01.prwexo La Réunion 2009

  • CDE est un triangle rectangle en C ;
  • A appartient au segment [CD], B appartient au segment [CE] et la droite (AB) est parallèle à la droite (DE) ;
  • Le point F est le milieu du segment [AC] et le point O est le milieu de [AB] ;
  • Le point G est le symétrique de F par rapport à O.
  • DE = 12 cm ; AB = 4,5 cm et AC = 1,8 cm.
  1. Quelle est la nature du quadrilatère AFBG ?
  2. Montrer que la droite (FO) est parallèle à la droite (CB).
  3. Calculer la longueur CD.
  4. Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle BAC.
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93 2009_Liban_01.prwexo Liban 2009

ABCD est un carré tel que : AB = 4 cm.
Le point M est situé dans le carré ABCD et vérifie : AM = 2,4 cm et DM = 3,2 cm.
La droite (AM) coupe la demi-droite [DC) au point I.

  1. Montrer que le triangle AMD est rectangle en M.
  2. Calculer au degré près la mesure de l’angle DAM.
  3. Dans le triangle ADI rectangle en D, exprimer tan DAI.
    En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur DI.
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94 2009_Nouvelle_Calédonie_01.prwexo Nouvelle Calédonie 2009

Pour trouver la hauteur d’une éolienne, on a les renseignements suivants :

  • Les points O, A et C sont alignés.
  • Les points O, B et D sont alignés.
  • Les angles OAB et ACD sont droits.
  • OA = 11 m ; AC = 594 m ; AB = 1,5 m.
La figure n’est pas tracée en vraie grandeur. Le segment [CD] représente l’éolienne.
  1. Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
  2. Calculer la hauteur CD de l’éolienne. Justifier.
pict

95 2009_Nouvelle_Calédonie_02.prwexo Nouvelle Calédonie 2009

Un parc de jeu à une forme triangulaire.
Il est représenté sur la figure ci-contre où les dimensions ne sont pas respectées.
Les dimensions réelles de ce terrain sont : DE = 12 m, EF = 9 m, DF = 15 m.

  1. On veut construire ce triangle à l’échelle -1--
200.

    Par exemple, la longueur DE sur la reproduction mesurera 6 cm.

    Déterminer les longueurs DF et EF sur la reproduction.

  2. Montrer que ce terrain possède un angle droit.
  3. Calculer l’aire réelle de ce parc.
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96 2009_Nouvelle_Calédonie_03.prwexo Nouvelle Calédonie 2009

On donne : ED = 9 cm ; EB = 5,4 cm ; EC = 12 cm ; EA = 7,2 cm ; CD = 15 cm.

  1. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
  2. Calculer la longueur du segment [AB].
  3. Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires.
    1. Calculer la valeur arrondie au degré près de l’angle ECD.
    2. En déduire, sans faire de calcul, celle de l’angle EAB. Justifier.
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97 2009_Polynésie_française_01.prwexo Polynésie française 2009

ABCD est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [CD].
On donne : AB = 5 cm, AD = 4,8 cm et BC = 6 cm.

  1. Montrer que la longueur CH est égale à 3,6 cm.
  2. Calculer le périmètre du trapèze ABCD.
  3. Calculer l’aire du trapèze ABCD.
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98 2009_Polynésie_française_02.prwexo Polynésie française 2009

Dans un verre à pied ayant la forme d’un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe dans sa partie supérieure jusqu’à la hauteur IR, puis de l’eau jusqu’à la hauteur IF.
Ce verre est représenté ci-contre en coupe.

  • Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G ;
  • On donne : RS = 3 cm, FG = 7,5 cm et IF = 8 cm.
  1. Démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles.
  2. Calculer IR.
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99 2009_Polynésie_française_03.prwexo Polynésie française 2009

L’unité de longueur est le centimètre.
On donne :

  • Les points C, D et A sont alignés ;
  • Les points B, E et A sont alignés ;
  • (DE) est perpendiculaire à (AD) ;
  • AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD = 3,2 ;
  • M [AC] et N [AB] tels que AM = 4 et AN = 5.
    1. Montrer que le triangle ABC est rectangle. Vous préciserez en quel point.
    2. En déduire que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
  1. Calculer DE.
  2. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
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100 2009_Pondichéry_01.prwexo Pondichéry 2009

On considère une bougie conique représentée ci-contre.
Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
La longueur du segment [AS] est 6,5 cm.

Le triangle OAS est représenté ci-dessous en vraie grandeur. On admet qu’il est rectangle en O.

  1. Montrer que la hauteur OS de la bougie est 6 cm.
  2. Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm3.
  3. Calculer l’angle ASO ; on donnera la valeur arrondie au degré.
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101 2009_Pondichéry_02.prwexo Pondichéry 2009

On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm.

  1. Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point.
  2. Le point M est le milieu de [EF] et la droite parallèle à [EG] passant par M coupe [FG] en N.
    Montrer que N est le milieu de [FG].
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102 2009_Portugal_01.prwexo Portugal 2009

(C1) est un cercle de centre E dont le diamètre [AD] mesure 9 cm.
B est un point du cercle (C1) tel que AEB = 46˚ .

  1. Montrer que le triangle ABD est rectangle.
  2. Justifier que ADB = 23˚ .
  3. Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième de cm.
  4. On trace la droite parallèle à la droite (AB) passant par E. Elle coupe le segment [BD] au point F.
    Calculer la longueur EF et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm.
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103 2010_Amérique_du_Nord_01.prwexo Amérique du Nord 2010

À l’intérieur d’une maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-contre (la figure n’est pas aux bonnes dimensions).
Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D le point d’intersection de cette perpendiculaire avec [EC].
Il a également tracé [AC].
Il a mesuré AB = 115 cm, BC = 80 cm, DC = 100 cm, ED = 20 cm, AC = 140 cm et AF = 28 cm.

  1. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
  2. Déterminer la mesure de l’angle ACD.
  3. Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles ? Justifier.
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104 2010_Polynésie_française_01.prwexo Polynésie française 2010

Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH H est sur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC].
Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A.
(AL) coupe [GH] en K.
On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm, BL = 4,8 cm et AK = 1 cm.

  1. Calculer l’aire en cm2 du triangle BLA.
  2. Justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallèles.
  3. Calculer la longueur HK.
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105 2010_Pondichéry_01.prwexo Pondichéry 2010

On considère un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm, BC = 10 cm et AC = 12,5 cm.
Les points F et G sont tels que :

  • F appartient à [AC] et CF = 5 cm ;
  • G appartient à [BC] et CG = 4 cm.
  1. Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
  2. Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
  3. Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm.
  4. Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
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